I LAPSO
- Números Racionales (Q) y sus Operaciones: Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Este conjunto está situado en la recta real numérica pero a diferencia de los números naturales que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le sigue -7; los números racionales no poseen consecución pues entre cada número racional existen infinitos números que solo podrían ser escritos durante toda la eternidad. Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para representar medidas. Pues a veces es más conveniente expresar un número de esta manera que convertirlo a decimal exacto o periódico, debido a la gran cantidad de decimales que se podrían obtener.
- Para decir, ¿Qué son números racionales? Podemos empezar por decir que, un número racional es una cifra o valor que puede ser referido como el cociente de dos números enteros o más precisamente, un número entero y un número natural positivo. Es decir que es un número racional, es un número que se escribe mediante una fracción. Los números racionales son números fraccionarios, sin embargo los números enteros también pueden ser expresados como fracción, por lo tanto también pueden ser tomados como números racionales con el simple hecho de dar un cociente entre el número entero y el número 1 como denominador.
- Al conjunto de los números racionales se lo denota con la letra ℚ, que viene de la palabra anglosajona “Quotient” traducción literal de cociente, y que sirve para recogerlos como subgrupo dentro de los números reales y junto a los números enteros cuya denotación es la letra Z. Por ello, en ocasiones se refieren a los números racionales como números ℚ. Un número racional puede ser expresado de diferentes maneras, sin alterar su cantidad mediante fracciones equivalentes, por ejemplo ½ puede ser expresado como 2/4 o 4/8, debido a que estas son fracciones reducibles. Asimismo existe una clasificación de los números racionales dependiendo de su expresión decimal, estos son:
- Los Números Racionales Limitados: Cuya representación decimal tiene un número determinado y fijo de cifras, por ejemplo 1/8 es igual a 0,125.
- Los Números Racionales Periódicos: De los cuales sus decimales tienen un número ilimitado de cifras, pero se diferencian de los números irracionales porque de esas cifras se puede descubrir un patrón definido mientras que en los números irracionales sus cifras decimales son infinitas y no-periódicas. A su vez los números racionales periódicos se dividen en dos, los periódicos puros, cuyo patrón se encuentra inmediatamente después de la coma, por ejemplo 0,6363636363… y los periódicos mixtos, de los cuales el patrón se encuentra después de un número determinado de cifras, por ejemplo 5,48176363636363…
- Propiedades de los Números Racionales: Existen para la suma y resta, y para la multiplicación y división, distintas propiedades de los números racionales, estos son:
a/b + c/d = e/f
(a/b + c/d) − e/f= a/b + (c/d − e/f)
- Propiedad Conmutativa: Donde en la operación, si el orden de los sumando varía, el resultado no cambia, de esta manera:
a/b + c/d = c/d + a/b
a/b + 0 = a/b
a/b − a/b = 0
- Entre las Propiedades de la Multiplicación y División están:
- Propiedad Interna: En razón de que al multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional.
a/b × c/d = e/f
- Propiedad asociativa: Donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto.
(a/b × c/d) × e/f = a/b × (c/d × e/f)
- Propiedad Conmutativa: Aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales también funciona.
a/b × c/d = c/d × a/b
- Propiedad Distributiva: Al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo:
a/b × (c/d + e/f) = a/b × c/d + a/b × e/f
- Elemento Neutro: En la multiplicación y la división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número.
a/b × 1 = a/b
a/b ÷ 1 = a/b
- Expresiones Decimales y Fracción Generatriz: Podemos observar que la expresión decimal de una fracción, es el número que resulta cuando se divide el numerador por el denominador de dicha fracción.Ejemplos:
- Fracción Generatriz: Un número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma de fracción, llamada fracción generatriz, de las formas que indicamos:
- Números Irracionales: El concepto de números irracionales proviene de la Escuela Pitagórica, que descubrió la existencia de números irracionales, es decir que no eran enteros ni racionales como fracciones. Esta escuela, los llamó en primer lugar números inconmensurables.
- Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones. Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número √2, o raíz cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato, cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias raciones o fracciones.
- Para distinguir los números irracionales de los racionales, debemos tomar en cuenta que los números racionales si se pueden escribir de manera fraccionada o racional, por ejemplo: 18/5 que es igual a 3,6 por lo tanto es un número racional a diferencia de la raíz cuadrada de dos en cuyo resultado se obtienen infinito número de cifras decimales, y su fraccionamiento resulta imposible. Podrías intentar encontrar la respuesta en una calculadora, y según el número de decimales con la cual la tengas programada, obtendrás algunos resultados: 1.4142135 esta es la respuesta de √2 con siete decimales, pero la cifra se irá alargando pues tiene infinitos decimales. De esta manera podemos definir a los números irracionales como un decimal infinito no periódico, es decir que cualquier representación de un número irracional, solo es una aproximación en números racionales.
- Notación de los Números Irracionales: La representación gráfica de los números irracionales se la hace con la letras mayúsculas así: R - Q . Se la utiliza de esta manera para diferenciarla de los números imaginarios, cuya representación es la i minúscula. Pero el símbolo no se representa en las ecuaciones al no constituir una estructura algebraica, y para no crear confusión, en ocasiones se los puede ver como R/Q como la representación de números irracionales por definición.
- Propiedades de los Números Irracionales: Además de ser un número infinito decimal no periódico, los números irracionales tienen otras propiedades como:
- Pi: Pi, o como se lo conoce mejor con su símbolo π, este es el más conocido de los números irracionales, y se utiliza en su mayoría para matemáticas, física e ingeniería. Su valor es el cociente entre la longitud o perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro. De él se han calculado millones de cifras decimales y aún sigue sin ofrecer un patrón. La aproximación de su número es 3.141592653589...
- Números Reales: El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta numérica que comprende a los números racionales y a los números irracionales. Esto quiere decir que incluyen a todos los números positivos y negativos, el símbolo cero, y a los números que no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros que tengan como denominador a números no nulos (excluye al denominador cero). Un número real puede ser expresado de diferentes maneras, por un lado están los números reales que pueden ser expresados con mucha facilidad, ya que no poseen reglas complejas para hacerlo. Estos son los números enteros y los fraccionarios, como por ejemplo el número 6767 que viene a ser un entero, o también el 3434, que es un número fraccionario compuesto de dos enteros, cuyo numerador es 33 y su denominador es 44. Sin embargo, también existen otros números que pueden ser expresados bajo diferentes reglas matemáticas más complejas como números cuyos decimales son infinitos como el número ππ o 2–√2 y que sirven para realizar cálculos matemáticos pero no pueden ser representados como un símbolo numérico único. Los números reales se representan con la R.
- Sistema de los Números Reales: El sistema de números reales se compone principalmente de dos grandes conjuntos, el de los números racionales que son aquellos que pueden ser expresados como la división de dos números enteros como 3434, 1515, incluso un número entero puede ser expresado como una fracción, ya que el número entero puede ser dividido para 11 sin cambiar su esencia, por ejemplo el número 88 puede ser expresado en fracción así 8181; mientras que el otro gran conjunto del sistema de números reales es el de los números irracionales cuya representación decimal es expansiva, infinita y aperiódica. Los números irracionales son un conjunto en sí mismos pero, a su vez, los números racionales tienen subconjuntos que son: las fracciones no enteras con sus respectivas notaciones negativas; los números enteros; dentro de los números enteros están los negativos y los enteros positivos; estos últimos a su vez incluyen a los números naturales y al cero. Para aclarar esta conjunción, se puede graficar como en el diagrama de arriba.
- De otra forma, se muestra a continuación un mapa conceptual de números reales:
II LAPSO
- Operaciones con Números Reales:
- Suma: En la adición de números reales, los términos que intervienen son los sumandos y el resultado, donde el orden de los sumandos no altera el resultado.
a + b = b + a
a + ( − b ) = ( − b ) + a = − b + a
- Resta: A pesar de que todas las operaciones de sustracción de números reales pueden ser expresadas como sumas, como se podía ver en el ejemplo anterior, también en la sustracción existen reglas para evitar confusiones. Pues, los términos que intervienen en esta operación, son el sustraendo, el minuendo y el resultado. El sustraendo siempre va primero, el minuendo va siempre después, logrando que el orden de los términos si acabe por afectar al resultado.
a−b≠b−a
- Multiplicación de Números Reales: En la multiplicación de números reales, los términos son los factores y el producto o resultado. En esta operación, los factores no alteran el producto, sin embargo, existen otras reglas para multiplicar cuando se tienen números negativos. Al multiplicar dos factores con el mismo signo positivo, la respuesta será la misma multiplicación, sin cambios.
a×b=c
+⋅+=+
+⋅−=−
−⋅+=−
−⋅−=+
−a×−b=c
a×−b=−c
−a×b=−c
a×−b×−c=d
a×−b×c=−d
a×1=a
a×0=0
- División: En la división de números reales, se aplican las mismas reglas de signos que en la multiplicación. Y en las fracciones, si uno de los dos términos tienen signo negativo, toda la fracción se convierte en un número negativo.
a−b=−ab=−ab
- Potenciación: La potenciación tiene varias reglas como:
a0=1
a1=a
- Multiplicación y división de potencias con la misma base.
am×an=am+n
am÷an=am−n
(am)n=am×n
an×bn=(a×b)n
an÷bn=(a÷b)n
- Números Radicales: Un radical es una expresión de la forma radical, en la que n Pertenece Conjunto de los números naturales y a Pertenece Erre ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.
- Potencias y Radicales: Se puede expresar un radical en forma de potencia. Ejemplo:
- Simplificación de Radicales: Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado. Ejemplo:
- Reducción a Índice Común:
1.- Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice
2.- Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.
- Suma y Resta de Radicales: Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.
- Producto de Radicales:
- Radicales del mismo índice:
- Radicales de Distinto Índice: Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
- Racionalización: Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones. Podemos distinguir tres casos:
2.- Se multiplica numerador y denominador por 
3.- en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical. Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.
- Números Complejos: Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado.1 El conjunto de los números complejos se designa con la notación C, siendo R el conjunto de los números reales se cumple que R{C (R está estrictamente contenido en C). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.
- Operaciones:
III LAPSO
- Teorema de Pitágoras: El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida entre las que tienen nombre propio en la matemática. En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Si en un triángulo rectángulo hay catetos de longitud A y B, y la medida de la hipotenusa es C, entonces se cumple la siguiente relación:
- Teorema de Euclides: En todo triángulo rectángulo, si se traza la altura correspondiente al vértice del ángulo recto, los dos nuevos triángulos rectángulos son semejantes entre sí, y a la vez son semejantes al original. A partir de lo anterior, se extraen las siguientes relaciones de proporcionalidad:
2.2- Teorema de Euclides referido al cateto: En todo triángulo rectángulo, cada cateto es medida proporcional geométrica (es decir, cada cateto al cuadrado) entre la hipotenusa entera y su proyección sobre ella.
2.3- Relación entre los teoremas de Euclides: En todo triángulo rectángulo, si despejamos m y n del teorema referido a los catetos y lo reemplazamos en el teorema referido a la altura, se cumple que la altura (que se traza desde el ángulo recto), es igual al producto de los catetos dividido por la hipotenusa.
- Despejamos m y n del teorema referido a los catetos;
- Reemplazamos m y n en el teorema referido a la altura;
- En resumen, según los teoremas de Euclides referentes a la altura y a los catetos, en todo triangulo rectángulo se cumple que;
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